NumPyにはFFTが用意されている

NumPyにはFFTは用意されていますか？

 

はい、用意されています 👍
NumPy には FFT（高速フーリエ変換） が標準で入っています。

NumPy の FFT

NumPy では numpy.fft モジュールとして提供されています。

import numpy as np

基本中の基本

1次元 FFT

X = np.fft.fft(x)

  • x：時間領域の信号

  • X：周波数領域（複素数）

逆 FFT

x_rec = np.fft.ifft(X)

周波数軸もセットで使う（重要）

N = len(x)
dt = 0.001 # サンプリング間隔（秒）freq = np.fft.fftfreq(N, d=dt)

実用的な最小例（サイン波）

プログラム
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

# 時間軸
fs = 1000 # サンプリング周波数 [Hz]
t = np.linspace(0, 1, fs, endpoint=False)

# 信号（50Hz の sin 波）
x = np.sin(2 * np.pi * 50 * t)

# FFT
X = np.fft.fft(x)
freq = np.fft.fftfreq(len(x), d=1/fs)

# 振幅スペクトル
amp = np.abs(X)

plt.plot(freq, amp)
plt.xlim(0, 200)
plt.grid()
plt.show()

👉 50Hz にピークが立ちます。

よく使う FFT 関数まとめ

関数 内容
np.fft.fft 1次元 FFT
np.fft.ifft 逆 FFT
np.fft.fftfreq 周波数軸
np.fft.fftshift 0Hz を中央へ
np.fft.rfft 実数信号用 FFT
np.fft.irfft 実数信号用逆 FFT

NumPy FFT の位置づけ

  • ✔ 標準で使える

  • ✔ 学習・可視化・簡単な解析に最適

  • △ 超大規模・高速処理は scipy.fft が有利

まとめ

  • NumPy に FFT は標準搭載

  • np.fft.fft() で即使える

  • 周波数軸（fftfreq）とセットが鉄板

もし目的が

  • 音声解析

  • ノイズ除去

  • スペクトル解析

なら、次は 実データでのFFT手順まで一気にいけますよ。

1000kHzの搬送波に1kHzの周波数をAM変調した変調波の式はどうなりますか？

いいテーマですね。では 式としてきちんと書きます 👍
（通信工学のど真ん中です）

条件の整理

  • 搬送波周波数：

    fc=1000 kHz=1 MHzf_c = 1000\ \text{kHz} = 1\,\text{MHz}

  • 変調信号周波数：

    fm=1 kHzf_m = 1\ \text{kHz}

まず各信号の式

搬送波（carrier）

c(t)=Accos⁡(2πfct)c(t) = A_c \cos(2\pi f_c t)

変調信号（message）

m(t)=cos⁡(2πfmt)m(t) = \cos(2\pi f_m t)

（簡単のため正弦波・振幅1とします）

AM（振幅変調）の基本式

通常の AM（DSB-LC） は

s(t)=Ac[1+μcos⁡(2πfmt)]cos⁡(2πfct)\boxed{ s(t) = A_c \left[ 1 + \mu \cos(2\pi f_m t) \right] \cos(2\pi f_c t) }

  • AcA_c：搬送波振幅
  • μ\mu：変調度（0〜1）

数値を代入すると

s(t)=Ac[1+μcos⁡(2π⋅1000 t)]cos⁡(2π⋅1,000,000 t)\boxed{ s(t) = A_c \left[ 1 + \mu \cos(2\pi \cdot 1000\, t) \right] \cos(2\pi \cdot 1{,}000{,}000\, t) }

これが 1000 kHz 搬送波を 1 kHz で AM 変調した変調波の式です。

中身を展開すると（重要）

積の公式を使うと：

 

s(t)=Accos⁡(2πfct)+Acμ2[cos⁡2π(fc+fm)t+cos⁡2π(fc−fm)t]\begin{aligned} s(t) &= A_c \cos(2\pi f_c t) \\ &\quad + \frac{A_c\mu}{2} \Big[ \cos 2\pi (f_c + f_m)t + \cos 2\pi (f_c – f_m)t \Big] \end{aligned}

👉 周波数成分は：

  • 搬送波：

    fc=1000 kHzf_c = 1000\,\text{kHz}

  • 上側波帯（USB）：

    1001 kHz1001\,\text{kHz}

  • 下側波帯（LSB）：

    999 kHz999\,\text{kHz}

スペクトルのイメージ

| | |
999k 1000k 1001k [Hz]
LSB C USB

まとめ（超重要）

  • AM の基本式：

s(t)=Ac[1+μm(t)]cos⁡(2πfct)s(t) = A_c [1 + \mu m(t)] \cos(2\pi f_c t)

  • 今回の具体式：

s(t)=Ac[1+μcos⁡(2π⋅1000t)]cos⁡(2π⋅1,000,000t)s(t) = A_c [1 + \mu \cos(2\pi·1000 t)] \cos(2\pi·1{,}000{,}000 t)

  • スペクトルは 搬送波 ± 変調周波数

次に行くと理解が一気に深まるのは👇
👉 変調度 μ > 1 で何が起きるか（過変調）
👉 DSB-SC（搬送波抑圧）との式の違い
👉 これを NumPy で波形＆FFT表示

どれいきます？

これを NumPy で波形＆FFT表示

了解です 👍
では その AM 変調波を NumPy で作って、波形と FFT を表示します。
通信系の教科書そのままの流れでいきますね。

① 条件設定（今回の問題そのまま）

  • 搬送波：1000 kHz = 1 MHz

  • 変調波：1 kHz

  • 変調度：μ = 0.5（過変調を避ける）

※ FFT を正しく見るため サンプリング周波数は十分高くします。

② NumPy で AM 変調波を生成

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

# パラメータ
fc = 1_000_000 # 搬送波周波数 [Hz]
fm = 1_000 # 変調波周波数 [Hz]
mu = 0.5 # 変調度
Ac = 1.0 # 搬送波振幅

fs = 20_000_000 # サンプリング周波数 [Hz]
T = 2e-3 # 観測時間 [s]（2 ms）

t = np.arange(0, T, 1/fs)

# AM変調波
s = Ac * (1 + mu * np.cos(2*np.pi*fm*t)) * np.cos(2*np.pi*fc*t)

③ 時間波形を表示（拡大して見る）

plt.figure()
plt.plot(t[:2000], s[:2000]) # 最初の一部だけ表示
plt.xlabel("Time [s]")
plt.ylabel("Amplitude")
plt.title("AM waveform (time domain)")
plt.grid()
plt.show()

👉

  • 中の細かい波：1 MHz 搬送波

  • 包絡線：1 kHz の cos 波

これが AM 変調の本質です。

④ FFT（周波数スペクトル）

# FFT
S = np.fft.fft(s)
freq = np.fft.fftfreq(len(S), d=1/fs)

# 振幅スペクトル
amp = np.abs(S) / len(S)

plt.figure()
plt.plot(freq, amp)
plt.xlim(990_000, 1_010_000) # 搬送波付近を拡大
plt.xlabel("Frequency [Hz]")
plt.ylabel("Amplitude")
plt.title("AM spectrum (FFT)")
plt.grid()
plt.show()

⑤ 見えるはずの周波数成分

グラフには 3本のピークが立ちます：

成分 周波数
下側波帯（LSB） 999 kHz
搬送波 1000 kHz
上側波帯（USB） 1001 kHz

👉 数式で導いた結果と FFT が一致します。

⑥ 超重要ポイント（実務・試験）

  • サンプリング周波数 fs は
    少なくとも搬送波の 10倍以上

  • 観測時間 T が短すぎると
    → 周波数分解能が悪化

  • FFT は 必ず freq 軸とセット

まとめ

  • NumPy で AM 波形は式どおり生成できる

  • FFT を取ると
    fc ± fm に側波帯が現れる

  • 時間領域 ⇔ 周波数領域がつながる瞬間 ✨

次におすすめなのは
👉 μ を 1.2 にして過変調を確認
👉 DSB-SC（搬送波なし）との比較
👉 包絡線検波を NumPy で再現

どれ行きます？

AM変調のFFT表示プログラム

プログラム

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

# パラメータ
fc = 1_000_000      # 搬送波周波数 [Hz]
fm = 1_000          # 変調波周波数 [Hz]
mu = 0.5            # 変調度
Ac = 1.0            # 搬送波振幅

fs = 20_000_000     # サンプリング周波数 [Hz]
T = 2e-3            # 観測時間 [s]（2 ms）

t = np.arange(0, T, 1/fs)

# AM変調波
s = Ac * (1 + mu * np.cos(2*np.pi*fm*t)) * np.cos(2*np.pi*fc*t)

# FFT
S = np.fft.fft(s)
freq = np.fft.fftfreq(len(S), d=1/fs)

# 振幅スペクトル
amp = np.abs(S) / len(S)

plt.figure()
plt.plot(freq, amp)
plt.xlim(990_000, 1_010_000)  # 搬送波付近を拡大
plt.xlabel("Frequency [Hz]")
plt.ylabel("Amplitude")
plt.title("AM spectrum (FFT)")
plt.grid()
plt.show()

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